MATEMÁTICAS II

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CLASE 1

INICIO CLASE, 1/JULIO/20

EVALUACIÓN
Para la evaluación de esta materia:

35% Tareas

30% Examen

35% Participaciones en clase

OBJETIVOS: Reconocerá a los polinomios como expresiones algebraicas y realizará operaciones aplicadas a los polinomios, ecuaciones de primer grado y graficas.

Realizar portada, con porcentajes de evaluación.

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES

REPASO EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS.- Dos ó más términos semejantes se pueden simplificar en uno solo, operando solo en sus coeficientes.

Ejemplo 3.3: Simplificar: a) 4x²y+3x²y – 2x²y

b) 3x + 2y – x + 5y

c) 3x + 2y – 1

d) 3xy –y² – 4 – xy + 2y² – 2xy

Solución:

a) Todos los términos son semejantes por lo que se simplifican realizando la operación en sus coeficientes:

(4 + 3 – 2)x²y = 5x²y

b) Los términos semejantes son 3x y –x y por otro lado 2y e 5y, por lo que el resultado es:

3x + 2y – x + 5y = 3x – x + 2y + 5y = 2x + 7y.

c) Ningún término es semejante por lo que el resultado es: 3x + 2y – 1

d) Juntando los términos semejantes queda: 3xy – xy – 2xy – y² + 2y² – 4= 0 + y² – 4 = y² – 4

SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Los símbolos de agrupación más utilizados son: Paréntesis ( ), Corchetes [ ], Llaves { }.

Todos los signos de agrupación son equivalentes, y para eliminarlos se aplican algunos teoremas, en particular las leyes de los signos.

Ejemplo 3.4: Simplificar 3 – (3x – 2) + ( 5 – 2x) – (3x + 3) + (9 – 2x)

Solución: Suprimiendo los signos de agrupación queda: 3– 3x + 2 + 5 – 2x – 3x – 3 + 9 – 2x =

= -3x – 2x – 3x – 2x + 3 + 2 + 5 – 3 + 9

= -10x +16

Ejemplo 3.5: Simplificar: x + (y – z) – [(3x – 2y) + z] + [x – (y – 2z)]

Solución: Suprimiendo los paréntesis x + y – z – [3x – 2y + z] + [x – y + 2z]

Suprimiendo los corchetes = x + y – z – 3x + 2y – z + x – y + 2z

Simplificando = -x + 2y

Actividades a realizar 3.1

Simplificar las expresiones siguientes

1) 6x – 10x	2) -5ab – 7ab + 2.5	3) 4.9y + 5.3y – 2.8y
4) 4a – 2a + 5a	5) x – 5 – 10x + 5	6) 4(z + 5) + 8z
7) 9y + 3 + 11y + 4	8) 3x² + 2x – 3x² + 9	9)

MULTIPLICACIÓN

Regla de los exponentes para la multiplicación de potencias: xⁿ x^m = x^n+m

Ejemplos: x³x⁴ = x⁷, y y³ = y⁴, z z⁶ z³ = z¹⁰

Para realizar la multiplicación de monomios, se multiplican los coeficientes numéricos (incluido signo), las literales semejantes (de acuerdo al teorema anterior) y si hay mas literales, solo se agregan al resultado.

Ejemplo 3.6: Multiplicar 7x²y³por -8x³y⁵z²

Solución: (7x²y³) (-8x³y⁵z²) = -56x⁵y⁸z²

Ejemplo 3.7: Multiplicar: -25a⁵c⁴por -24a³b⁴c

Solución: (-25a⁵c⁴) (-24a³b⁴c) = 600a⁸b⁴c⁵

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica el postulado distributivo.

a (b + c) = ab + ac

Ejemplo 3.8: Multiplicar -5x³y por 3x² – 5xy + 4y²

Solución: El monomio -5x³y multiplica a cada término del polinomio

-5x³y (3x² – 5xy + 4y²) = -15x⁵y + 25x⁴y² – 20x³y³

Ejemplo 3.9: Multiplicar 8xy⁴z⁵ por -9x³z²–5y⁴z + 6

Solución: (8xy⁴z⁵) (-9x³z² – 5y⁴z + 6) = - 72x⁴y⁷z⁷ – 40xy⁸z⁶ + 48xy⁴z⁵

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva reiteradamente, simplificando los términos resultantes.

Actividades a realizar 3.2

Resolver las siguientes operaciones.

1. (2x – 1) (3x + 2)	2. (5y – 3) ( 8y – 6)	3. (3x – 9y) (2z – 5w)
4. (4a + 8) (7a + 9)	5. (6b + 5) (9b – 10)	6. (3x – 9y) (2z – 5w)
7.	8. (c³ – 2d⁵) (3c⁴ + ½ d⁶)

FIN CLASE, 1/JULIO/20

CLASE 2

INICIO CLASE, 6/JULIO/20

Repaso Ecuaciones de Primer Grado

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

Ejemplo 6.

Ejemplo 7.

Participación.

Tarea.

1.-

2.-
Las que no se ven, las dos primeras son: (-3,3) (1,-4)

3.-

FIN CLASE, 6/JULIO/20

CLASE 3

INICIO CLASE, 8/JULIO/20

PROPIEDADES DE GRÁFICAS

FIN CLASE, 8/JULIO/20

CLASE 4

INICIO CLASE, 13/JULIO/20

ECUACIONES SIMULTANEAS - MÉTODO GRÁFICO
EJEMPLOS

Sistema 1

Resolver gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución

Lo primero que hacemos es despejar la yy en ambas ecuaciones.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizaremos x=0x=0 y x=2x=2.

Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla

Ahora representamos los puntos de cada tabla uniéndolos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:

Sistema 2

Resolver gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución

Lo primero que hacemos es despejar la yy en ambas ecuaciones.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizaremos x=1x=1 y x=−1x=−1.

Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla

Ahora representamos los puntos de cada tabla uniéndolos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:

PARTICIPACIÓN:

Sistema 3

Resolver gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

Sistema 4

Resolver gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones:

TAREA

FIN CLASE, 13/JULIO/20

INICIO CLASE, 15/JULIO/20

Método de eliminación por suma o resta

Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método:

a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante

apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las

incógnitas.

b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.

e) Se resuelve la ecuación lineal resultante.

f) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para,

encontrar el valor de la otra incógnita.

Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incógnitas de igual coeficientes el paso

primero se omite. EJEMPLO:

1. Resolver el sistema

(1) 4x + 6y = -3

(2) 5x + 7y = -2

Multiplicar los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.

5(4x + 6y = -3) 20x + 30y = - 15

-4(5x + 7y = -2) -20x - 28y = 8

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:

20x + 30y = - 15

- 20x - 28y = 8

0 2y = - 7

Resolviendo la ecuación, tenemos: y = - 7/2

Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:

(1) 4x + 6(-7/2) = - 3

4x - 21 = - 3

4x = - 3 + 21

x = 18 / 4

x = 9/2

(2) 5(9/2) + 7(-7/2) = - 2

45/2 - 49/2 = -

-4/2 = -2

-2 = -2

Su comprobación es:

4(9/2) + 6(-7/2) = - 3

18-21 = -3

-3 = -3

Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son:

x = 9/2 y y = -7/2

MÉTODO DETERMINANTE

FIN CLASE, 15/JULIO/20

INICIO CLASE, 20/JULIO/20

TRINOMIO DE LA FORMA x² + b x + c = 0

TRINOMIO DE LA FORMA ax² + b x + c = 0

Introducción Trinomios

Trinomios F.G.

Trinomios F.G. y C.M.

INICIO FIN CLASE, 20/JULIO/20

INICIO CLASE, 22/JULIO/20

LENGUAJE ALGEBRÁICO

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Para lo cual es necesario traducir expresiones comunes a lenguaje algebraico.

En los siguientes ejemplos se ilustran algunas traducciones de lenguaje común a lenguaje algebraico.

LENGUAJE COMÚN	LENGUAJE ALGEBRÁICO	LENGUAJE COMÚN	LENGUAJE ALGEBRÁICO
La suma de 25 y x	x + 25	El perímetro de un cuadrado	x = lado, P = 4x
La mitad de un número	X/2 ó ½ x	Tres números consecutivos	x, x + 1, x + 2
Dos números que sumados den 36	x, 36 – x	El triple de un número es 15	3x = 15
El doble de la diferencia de 4 y x.	2(4 – x)	La diferencia entre un número y -21	x - (-21)
El triple del cuadrado de un número	3x²	María tiene el doble de años de Pedro mas 3.	Sea P la edad de Pedro y M la edad de María, entonces M = 2P + 3
La suma de dos números es 100, si el primero es x, el segundo es	100 – x	Un número y su recíproco	x y
El cuadrado del triple de un número	(3x)²	El perímetro de un triángulo isósceles mide 225 metros	2x + y = 225

Ejemplos: Expresa algebraica mente los siguientes enunciados verbales:

1. Un número cualquiera.	R: x
2. El doble de un número cualquiera.	R: 2x
3. Un número aumentado en 5.	R: x + 5
4. Un número disminuido en 3.	R: x - 3
5. Un número aumentado en su mitad.	R: x + ½ x ó bien x +
6. El antecesor de un número cualquiera.	R: x – 1
7. El sucesor de un número cualquiera.	R: x + 1
8. Un número par cualquiera.	R: 2x para cualquier x entero
9. Un número impar cualquiera.	R: 2x + 1 para cualquier x entero
10. Dos pares consecutivos cualesquiera.	R: x y x + 2 para cualquier x par
11. Tres impares consecutivos cualesquiera.	R: x, x+2 y x + 4 para cualquier x impar
12. El exceso de un número sobre 3.	R: x – 3
13. El exceso de un número cualquiera sobre otro número cualquiera.	R: x – y
14. La quinta parte de un número.	R: 1x/5 o x/5
15. La centésima parte de un número.	R: 1x/100 o x/100
16. Las tres cuartas partes de un número cualquiera.	R: 3x/4 = ¾ x
17. El cuadrado de un número cualquiera.	R: x²
18. El cubo de un número cualquiera.	R: x³
19. El doble de un número aumentado en 4.	R: 2x + 4
20. El triple de un número disminuido en 5.	R: 3x – 5
21 El cuádruple del exceso de un número sobre 8.	R: 4(x – 8)
22. El exceso del cuádruple de un número sobre 8.	R: 4x – 8
23. El doble del cubo de un número.	R: 2x³
24. El cubo del cuádruple de un número.	R: (4x)³
25. El cubo de la diferencia entre dos números cualesquiera	. R: (x – y)³
26. La tercera parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número.	R: 1/3 (2x – 3y) = (2x-3y)/3
27. El doble del cubo de un número disminuido en el cuádruple del cubo de otro número.	R: 2x³ – 4y³
28. El triple del cuadrado de la diferencia entre un número y 13.	R: 3(x – 13)²
29. La cuarta parte de la adición entre un número cualquiera y 3.	R: ¼ (x + 3) =(x+3)/4
30. La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del cuadrado de otro número.	R: 1x³/4 – 1y²/3

ACTIVIDADES A REALIZAR 1.2

Convierte a lenguaje algebraico

a) El cubo de la diferencia entre la mitad de un número y la cuarta parte del triple de otro número. R:

b) La mitad del exceso del cuadrado del triple de un número sobre el doble del cubo de otro número.

c) A la cuarta parte de un número agregarle sus tres cuartas partes.

d) El cuadrado de la tercera parte de la diferencia entre el cuádruple del cubo de un número y el cuadrado del triple de otro número.

e) La mitad del exceso de la tercera parte de un número y sus tres cuartas partes.

f) Un múltiplo de siete cualquiera.

g) Cuatro números consecutivos.

h) El perímetro de un cuadrado

i) El área de un triángulo de base igual a 12

j) La quinta parte del cuadrado de la suma de dos números cualesquiera

2. Enuncia verbalmente las siguientes expresiones algebraicas:

x - 2 : "La diferencia entre un número y 2"

x + 3	2x - 4y	x²
2x + 5	(3x – 2)²	5x
2x³	(2-3x)/5	x + y
x - 3y	(x+y)/(x-y)	2x

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Traducción de enunciados a ecuaciones

Las ecuaciones se pueden utilizar como estrategia en la resolución de problemas. Para ello se utilizan los siguientes pasos.

Comprender. En este paso se identifican las cantidades conocidas y se establece lo que pregunta el problema.

Desarrollar un plan. Consiste en traducir el problema a una ecuación.

Algunas palabras que te ayudarán a la traducción de enunciados a expresiones algebraicas son:

Adición ó suma Þ La suma de, sumado a, se aumenta en, más

Substracción Þ La diferencia de, restado a, se disminuye en, menos

Multiplicación Þ El producto de, multiplicado por, veces, por

División Þ El cociente de, dividido entre

Igualdad Þ Es igual a, es lo mismo que, son iguales, es equivalente a

Llevar a cabo el plan. Consiste en resolver la ecuación.

Revisar. Verificar la solución del problema comparando la respuesta obtenida con los datos originales.

Ejemplo: La suma de dos números es 34 y su diferencia es 10. Hallar los números.

Solución: Primer número; x

Segundo numero; 34 – x

Su diferencia es 10; x – (34 – x) = 10

Solucionando x – 34 + x = 10

x + x = 10 + 34

2x = 44

x = 44/2 = 22

Por lo que: Primer número = x = 22 y el segundo número = 34 – x = 34 – 22 = 12

Ejemplo: Elvira tiene 5 años más que Juan. Si ambas edades suman 37 años. Hallar la edad de cada uno.

Solución: Sea la edad de Juan = x

edad de Elvira = x + 5

La suma es 37 x + (x + 5) = 37

x + x + 5 = 37

2x = 37 – 5

2x = 32

x = 16

Entonces: La edad de Juan = x = 16

Edad de Elvira = x + 5 = 21

Ejemplo: Repartir $310 entre tres personas de modo que la segunda reciba $20 menos que la primera, y $40 mas que la tercera.

Solución: Si la segunda recibe $x, entonces

La primera recibe x + 20

Y la tercera recibe x – 40.

Como la suma de las tres cantidades es $310, entonces

x + (x + 20) + (x – 40) = 310

x + x + 20 + x – 40 = 310

3x – 20 = 310

3x = 310 + 20

3x = 330

x = 330/3

x = $110

La segunda recibe $110

La primera recibe x + 20 = $130

La tercera recibe x – 40 = $70

Ejemplo: La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas edades.

Solución:

Sea x= edad de A.

Como B tiene 8 años menos que A; x – 8 = edad de B.

La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemos la ecuación: x + x − 8 = 84

Resolviendo esta ecuación tenemos x=4 6, la cual representa la edad de A.

Por lo que B tiene 8 años menos ó 38 años.

Ejemplo: Repartir 180 pesos entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio de la de C.

Solución:

Si la parte de A es la mitad de la de B, la parte de B es el doble de la de A. Si la parte de A es un tercio de la de C, la parte de C es el triple de la de A. Entonces sea:

x= parte de A,

2x=parte de B y

3x=parte de C

Como la cantidad a repartir es 180 pesos, la suma de las tres partes tiene que ser igual a 180; luego, tenemos la ecuación: x + 2x + 3x = 180

Resolviendo esto último; x = 30 la parte de A, 60 la parte de B y 90 pesos para C.

Ejemplo: El doble de un número equivale al número aumentado en 111. Encontrar el número.

Solución: Sea x el número a buscar, entonces

el doble será 2x

el número aumentado en 111 x + 111

Ambas cantidades son equivalentes 2x = x + 111

Cuya solución es x = 111

Ejemplo: El perímetro de un rectángulo mide 120 m. Si uno de los lados mide 45 m ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución: Sea x la medida del lado que falta. Como el perímetro es la suma de todos los lados tenemos que Perímetro = 45 + x + 45 + x

Pero sabemos que el perímetro mide 120 m Perímetro = 120

Se establece la igualdad 45 + x + 45 + x = 120

Cuya solución es x = 15 m

Por lo que las dimensiones son 45 y 15 m

Ejemplo: La suma de tres números enteros consecutivos es 231. Hallar los números.

Solución: Los tres números enteros consecutivos son: x, x+1 y x+2

La suma de los tres es 231 x + x + 1 + x + 2 = 231

La solución es x = 76

Y los números son 76, 77 y 78.

ACTIVIDADES A REALIZAR 1.3

Resolver los siguientes problemas, mostrar la ecuación y métodos de solución

1. Dividir 254 tres partes tales que la segunda sea el triple de la primera y 40 unidades mayor que la tercera.

2. Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó 8 veces lo que el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Hallar los precios respectivos.

3. Una varilla de 74 metros de longitud se ha pintado de azul y blanco. La parte pintada de azul excede en 14 metros al doble de la parte pintada de blanco. Encuentre la longitud de la parte pintada de cada color.

4. Si me pagaran $60 tendría el doble de lo que tengo ahora más $10. ¿Cuánto tengo?

5. 11. El asta de una bandera de 9 metros de altura se ha partido en dos. La parte separada tiene 0.8 metros menos que la otra parte. Hallar la longitud de ambas partes del asta.

6. Cuatro números enteros consecutivos suman 274. Hallar los números.

7. Deseo repartir $12 000 entre 4 personas de tal manera que a la segunda le corresponda la mitad de lo que le corresponde a la primera, a la tercera persona le corresponde la mitad de lo que reciban la primera y la segunda juntas y a la cuarta persona le corresponda la tercera parte de lo que reciba la tercera persona. ¿Cuánto recibe cada una?

TAREA

DESIGUALDADES

Los números reales se pueden representar como puntos en la recta numérica.

Decimos que a es mayor que b (a > b) si en la recta numérica a se encuentra a la derecha de b.

 

a b

a > b

Ejemplo 1.9: Comparar los siguientes números:

a) 3 y -3 b) 1 y 5/3 c) -4 y 0 d) 2/3 y 10/15

Solución: Graficando estos puntos en la recta numérica encontramos que:

a) 3 está a la derecha de -3, entonces 3 > -3.

b) 1 está a la izquierda de 5/3, entonces 1 < 5/3

c) -4 está a la izquierda de 0, entonces -4 < 0

2/3 tiene el mismo lugar que 10/15, entonces 2/3 = 10/15

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

PROPIEDADES DE ORDEN

1. Propiedad de tricotomía.- Si a y b son reales solo se cumple una de las siguientes afirmaciones:

i) a > b

ii) a < b

iii) a = b

2) Propiedad transitiva.- Si a < b y b < c, entonces a < c.

3) Propiedad aditiva.- Si a < b y c es cualquier número real, entonces:

a + c < b + c

4) Propiedad multiplicativa.- Si a < b y c > 0, entonces:

ac < bc

Si a < b y c < 0, entonces:

ac > bc.

Al multiplicar (o dividir) por un número positivo la desigualdad no se altera. Pero al multiplicar (o dividir) por un número negativo, la desigualdad se invierte.

INECUACIONES

Poseen al menos una variable en la desigualdad.

SOLUCIÓN DE INECUACIONES

Es hallar los intervalos de valores que hacen que la desigualdad sea verdadera.

Ejemplo 1.11: Resolver 3x – 6 < 9

Solución: 3x – 6 < 9

Sumando 6 a ambos lados 3x – 6 + 6 < 9 + 6

Resolviendo 3x < 15

Multiplicando por 1/3 (1/3) 3x < (1/3) 15

x < 5

Solo los valores menores que 5 satisfacen la desigualdad original.

Ejemplo 1.11: Resolver 10 – 3x ≥ x + 18

Solución: 10 – 3x ≥ x + 18

Sumando -10 - x -10 – x + 10 – 3x ≥ x + 18 – 10 + x

- 4x ≥ 8

x ≤ 8/-4

x ≤ -2

Como el - 4 es negativo la desigualdad se invierte al cambiar de miembro.

ACTIVIDADES A REALIZAR 1.4

Resolver

1) x + 7 > 9 2) 2x + 3 x + 6 3) -6x + 7 x + 9

4) -6x -72 5) 1x/3 - 9 > 2x/3 + 6 6) -6x + 9 < -2x + 8

FIN CLASE, 22/JULIO/20

INICIO CLASE, 27/JULIO/20

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1.- Resolver: 4x – (50 – 6x) + 8 (x + 2) = 20 + 300

2.- Resolver la ecuación (4x – 8) (4x + 8) = 4x (4x + 4)

3.- Resolver la ecuación ⅔x – 10 = ¼ + 4x

4.- Resolver: 30 (.30) + 3x (.45) = (x + 10.5) (.60)

5.- Resolver: 60 – 5x ≥ 3x – 120

6.- Resolver ecuación cuadrática por formula genera: x² - 10x + 25 = 0

7.- Resolver (Eliminación y Determinantes): [1] 3x –2.40y = 4.20
[2] x – .70y = 3.60

8.- Resolver la siguiente ecuación x² – 44x + 484 = 0

9- Resolver la ecuación: (7x – 2) (6x + 3) = – 40 + 25x + 42x²

10.- Juan compro y pago por 14 camisas $2100, pagando de IVA por cada camisa $150. ¿Cuánto pago por cada camisa?

11.- Resolver: 35 – 4x < – 3x – 100

12.- Resolver (Grafico): [1] x - 3y = 9
[2] 2x + y = –10

FIN CLASE, 27/JULIO/20

INICIO DE EXAMEN, 29/JULIO/20

EXAMEN

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INICIO DE EXAMEN, 29/JULIO/20

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Traducción de enunciados a ecuaciones

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