MATEMÁTICAS I

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EVALUACIÓN
Para la evaluación de esta materia:

35% Tareas

30% Examen

35% Participaciones en clase

Realizar portada, con porcentajes de evaluación.

OBJETIVOS: Reconocerá a los polinomios como expresiones algebraicas y realizará operaciones aplicadas a los polinomios.

CLASE 1

INICIO CLASE, 11/JULIO/20

REPASO DE OPERACIONES BÁSICAS

Leyes de Signos: Suma/Resta

Ejemplos: Suma/Resta

Ejemplo: Suma/Resta

Leyes de Signos: Multiplicación/División

Ejemplos: Multiplicación/División

Ejemplos: Operaciones con, Suma, Resta y Multiplicación

Introducción Operaciones con Fracciones

Ejemplos: Operaciones con Fracciones

ALGEBRA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS: Dos ó más términos semejantes se pueden simplificar en uno solo, operando solo en sus coeficientes.

Introducción Suma/Resta Algebraica

Ejemplos Suma/Resta Algebraica

SUMA Y RESTA ALGEBRAICA

Ejemplo 3.3: Simplificar: a) 4x²y+3x²y – 2x²y

b) 3x + 2y – x + 5y

c) 3x + 2y – 1

d) 3xy –y² – 4 – xy + 2y² – 2xy

Solución:

a) Todos los términos son semejantes por lo que se simplifican realizando la operación en sus coeficientes:

(4 + 3 – 2)x²y = 5x²y

b) Los términos semejantes son 3x y –x y por otro lado 2y e 5y, por lo que el resultado es:

3x + 2y – x + 5y = 3x – x + 2y + 5y = 2x + 7y.

c) Ningún término es semejante por lo que el resultado es: 3x + 2y – 1

d) Juntando los términos semejantes queda: 3xy – xy – 2xy – y² + 2y² – 4= 0 + y² – 4 = y² – 4

SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Los símbolos de agrupación más utilizados son: Paréntesis ( ), Corchetes [ ], Llaves { }.

Todos los signos de agrupación son equivalentes, y para eliminarlos se aplican algunos teoremas, en particular las leyes de los signos.

Ejemplo 3.4: Simplificar 3 – (3x – 2) + ( 5 – 2x) – (3x + 3) + (9 – 2x)

Solución: Suprimiendo los signos de agrupación queda: 3– 3x + 2 + 5 – 2x – 3x – 3 + 9 – 2x =

= -3x – 2x – 3x – 2x + 3 + 2 + 5 – 3 + 9

= -10x +16

Ejemplo 3.5: Simplificar: x + (y – z) – [(3x – 2y) + z] + [x – (y – 2z)]

Solución: Suprimiendo los paréntesis x + y – z – [3x – 2y + z] + [x – y + 2z]

Suprimiendo los corchetes = x + y – z – 3x + 2y – z + x – y + 2z

Simplificando = -x + 2y

Actividades a realizar 1.1

Simplificar las expresiones siguientes

1) 6x – 10x	2) -5ab – 7ab + 2.5	3) 4.9y + 5.3y – 2.8y
4) 4a – 2a + 5a	5) x – 5 – 10x + 5	6) 4(z + 5) + 8z
7) 9y + 3 + 11y + 4	8) 3x² + 2x – 3x² + 9	9)

MULTIPLICACIÓN

Introducción Multiplicación Algebraica

Multiplicación Algebraica

Multiplicación Algebraica con Binomios

Regla de los exponentes para la multiplicación de potencias: xⁿ x^m = x^n+m

Ejemplos: x³x⁴ = x⁷, y y³ = y⁴, z z⁶ z³ = z¹⁰

Para realizar la multiplicación de monomios, se multiplican los coeficientes numéricos (incluido signo), las literales semejantes (de acuerdo al teorema anterior) y si hay mas literales, solo se agregan al resultado.

Ejemplo 3.6: Multiplicar 7x²y³por -8x³y⁵z²

Solución: (7x²y³) (-8x³y⁵z²) = -56x⁵y⁸z²

Ejemplo 3.7: Multiplicar: -25a⁵c⁴por -24a³b⁴c

Solución: (-25a⁵c⁴) (-24a³b⁴c) = 600a⁸b⁴c⁵

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica el postulado distributivo.

a (b + c) = ab + ac

Ejemplo 3.8: Multiplicar -5x³y por 3x² – 5xy + 4y²

Solución: El monomio -5x³y multiplica a cada término del polinomio

-5x³y (3x² – 5xy + 4y²) = -15x⁵y + 25x⁴y² – 20x³y³

Ejemplo 3.9: Multiplicar 8xy⁴z⁵ por -9x³z²–5y⁴z + 6

Solución: (8xy⁴z⁵) (-9x³z² – 5y⁴z + 6) = - 72x⁴y⁷z⁷ – 40xy⁸z⁶ + 48xy⁴z⁵

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva reiteradamente, simplificando los términos resultantes.

Actividades a realizar 1.2

Resolver las siguientes operaciones.

1. (2x – 1) (3x + 2)	2. (5y – 3) ( 8y – 6)	3. (3x – 9y) (2z – 5w)
4. (4a + 8) (7a + 9)	5. (6b + 5) (9b – 10)	6. (3x – 9y) (2z – 5w)
7.	8. (c³ – 2d⁵) (3c⁴ + ½ d⁶)

FIN CLASE, 11/JULIO/20

CLASE 2

INICIO CLASE, 18/JULIO/20

REPASO; DE SUMA Y RESTA ALGEBRAICA

REPASO; MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

PRODUCTOS NOTABLES

Hay ciertos productos de polinomios que aparecen con mucha frecuencia, y cumplen reglas fijas y cuyo resultado se puede escribir por simple inspección.

◊ BINOMIOS AL CUADRADO

(a ± b)² = a²± 2ab + b²

Al elevar un binomio al cuadrado se producen tres términos:

1) El cuadrado del primer término

2) El doble producto del primero por el segundo

3) El cuadrado del segundo término

Ejemplo 3.12: Desarrollar (3x – 5y)²
Solución: El primer término a = 3x, El segundo término b = -5y

a² 9x²

2ab 2(3x)(-5y) = -30xy²

b² 25y²

Por lo que el desarrollo es: (3x – 5y)² = 9x² – 30xy + 25y²

Ejemplo 3.13: Desarrollar (6n + k²)²
Solución: En este caso a = 6n, y b = k²

a² = 36n². 2ab = 2(6n) (k²) =12k²n, y b² = (k²)² = k⁴

por lo que (6n + k²)² = 36n² + 12 k²n + k⁴

◊ BINOMIOS AL CUBO

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Ejemplo 3.14: Desarrollar (2x + 7y)³ Solución: a = 2x y b = 7y,
entonces a³= 8x³,

3ab² = 3(2x)(7y)² = 294xy² 3a²b= 3(2x)²(7y) = 84x²y, b³ = 343y³

Por lo que (2x + 7y)³ = 8x³ + 84x²y + 294xy² + 343y³

Ejemplo 3.15: Desarrollar (5 – 4n²)³
Solución: a = 5 y b = -4n²

a³ = 25 3ab² = 3(5) (-4n²)² = +240n⁴

3a²b= 3(5)²(-4n²) = -300n² b³ = (-4n²)³ = -64n⁸

Por lo que (5 – 4n)³ = 25 – 300n² + 240n⁴ – 64n⁸

◊ BINOMIOS CONJUGADOS

(a + b) (a – b) = a² – b²

Los términos son iguales, excepto por el signo del segundo término.

Ejemplo 3.16: Desarrollar (3x + 4y) (3x – 4y) Solución: a = 3x, entonces a² = 9x²

b = 4y, entonces b² = 16y²

Por lo que (3x + 4y) (3x – 4y) = 9x² – 16y²

Ejemplo 3.17: Desarrollar (1 – 7x³y) (7x³y + 1)

Solución: La expresión no tiene la forma de binomios conjugados, pero si se invierte la suma (la cual no se altera), obtenemos binomios conjugados:

(1 – 7x³y) (1 + 7x³y) = 1 – 49x⁶y²

Actividades a realizar 1.3

Desarrolla los siguientes productos.

1) (a – 9)(a +9)	2) (7x + 1)(7x – 1)	3)	4) (8z – 9w)²
5) (4t + 9)(4t – 9)	6) (x + 5)³	7) (5x – 4y)²	8) (4y + 1/6)²
9) (x² – 5)²	10) (x -1)³	11) (x/3 – ½)(x/3 + ½)	12)
13) (2x – 1)³	14) (x² + 1)(x + 1)(x – 1)	15) (x + y + 1)(x + y – 1)	16)
17) (t³ – 4)(t³ + 1)	18) (3x – 1)(1 + 3x)	19) (x – ½)²	20) (1/2 x – y/2)²

TAREA

DIVISIÓN

Introducción a División Algebraica

División Algebraica 1

División Algebraica 2

División Algebraica 3

División Algebraica 4

División Algebraica 5

División Algebraica 6

División Algebraica 7

FIN CLASE, 18/JULIO/20

CLASE 3

INICIO CLASE, 25/JULIO/20

Regla de los exponentes para la división de potencias: aⁿ/a^m = a^{n – m}

Ejemplo 3.18: x⁷/x³ = x⁴, a⁸/ a⁵ = a³, y⁶/y = y⁵

Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes y se aplica el teorema para las constantes.

Ejemplo 3.19: Dividir a) 24x⁵y⁷z entre 6x³y⁴ b) 12x³y⁵z² entre 18x³y⁴

Solución: a) 24x⁵y⁷ ÷ 6x3y⁴ = 4x²y³ , b) 12x³y⁵z² ÷ 18x³y² = ⅔ y³z²

En el inciso b el coeficiente ⅔ es el resultado de la simplificación de 12/18. La literal y fue eliminada debido a la igualdad de los exponentes.

Para dividir dos polinomios se siguen los siguientes pasos:

Se ordenan ambos polinomios en orden decreciente respecto al grado de la variable.
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente.
Se suma del dividendo el inverso aditivo del producto del divisor por el primer término del cociente y se obtiene un primer residuo.
Se baja el siguiente término del dividendo sumándoselo al residuo anterior.
Se divide el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, obteniendo el segundo término del cociente.
Se procede de manera similar hasta obtener un residuo cero o de grado menor al del divisor.
Comprobar el resultado verificando que:

Cociente × Divisor + Residuo = Dividendo

Ejemplo 3.20: Calcular (24y³ – 41y² – 10) ÷ (3y – 4)

Solución: Escribimos los polinomios en orden decreciente de acuerdo a los exponentes de y. Escribimos ceros para las potencias de y que no aparecen en el dividendo.

Paso 1 _8y²_________________ Calcular 24y³ ÷ 3y

3y - 4 ) 24y³ – 41y² + 0y - 10

-24y³ + 32y²Inverso aditivo del producto

Suma -6y² + 0y 8y² por 3y – 4

Paso 2

_8y² – 3y___ _________ Calcular 9y² ÷ 3y

3y – 4 )24y³ – 41y² + 0y – 10

-24y³ + 32y²

-9y² + 0y Bajar 0y

9y² – 12y Inverso aditivo del producto

Suma -12y – 10 3y por 3y – 4

Paso 3

_8y² – 3y – 4 _______ Calcular -12y entre 3y

3y – 4 )24y³ – 41y² + 0y – 10

-24³ + 32y²

-9y² + 0y

9y² – 12y

-12y – 10 Bajar -10

12y – 16 Inverso aditivo del producto

Suma y Residuo -26 -4 por 3y - 4

Actividades a resolver 3

1.- Simplificar las siguientes expresiones
En los siguientes ejercicios realiza la división indicada

FIN CLASE, 25/JULIO/20

CLASE 4

INICIO CLASE, 1/AGOSTO/20

TRINOMIO DE LA FORMA x² + b x + c = 0

TRINOMIO DE LA FORMA ax² + b x + c = 0

Introducción Trinomios

Trinomios F.G.

Trinomios F.G. y C.M.

FIN CLASE, 1/AGOSTO/20

CLASE 5

INICIO EXAMEN, 8/AGOSTO/20

EXAMEN

FIN EXAMEN, 8/AGOSTO/20

FACTORIZACIÓN

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como resultado la primera expresión.

A la acción de hallar estos factores se le llama factorizar.

Los tipos mas frecuentes de factorización son: a) Factor común

b) Diferencia de cuadrados

c) Trinomios (De las formas x²+ bx +c y ax² + bx +c)

d) Suma y diferencia de cubos

◊ FACTOR COMÚN

Cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común distinto de 1, se aplica la inversa de la propiedad distributiva: ab + ac = a(b + c).

El factor común debe ser al Máximo Común Divisor (MCM) de los términos.

Ejemplo 3.21: Factorizar 3a³ – a²

Solución: El MCM de los términos anteriores es a² (se toma las literales comunes a todos los términos con grado menor). Por lo que: 3a³ – a² = a² (3a – 1)

Ejemplo 3.22: Factorizar 34ax² + 51a²y – 68ay²

Solución: El MCD de los términos anteriores es 17a, por lo que: 34ax² + 51a²y – 68ay² = 17a (2x² + 3ay – 4y²)

Ejemplo 3.23: Factorizar 3x (5x – 3) – 8 (5x – 3)

Solución: El MCM es (5x – 3) por lo que: 3x (5x – 3) – 8 (5x – 3) = (5x – 3) (3x – 8)

◊ FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Son expresiones que tienen factor común solo en grupos.

Ejemplo 3.24: Factorizar 3b – 6bx – 5c + 10cx

Solución: Se factorizan por un lado 3b y -6bx, y por otro -5c + 10cx

3b – 6bx – 5c + 10cx = 3b (1 – 2x) – 5c (1 – 2x)

= (1 – 2x) (3b – 5c). Al ser (1 – 2x) factor común.

◊ DIFERENCIA DE CUADRADOS

a² –b² = (a + b) (a – b)

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de los mismos.

Ejemplo 3.25: Factorizar 16 – 25y² Solución: La raíz cuadrada de 16 es 4.

La raíz cuadrada de 25y² es 5y.

Entonces 16 – 25y² = (4 + 5y) (4 – 5y)

Ejemplo 3.26: Factorizar 100m²n⁴ – 121y⁶ Solución: La raíz cuadrada de 100m²n⁴ es 10mn²

La raíz cuadrada de 121y⁶ es 11y³

Entonces 100m²n⁴ – 121y⁶ = (10mn² – 11y³) (10mn² + 11y³)

Ejemplo 3.27: Factorizar (3x – 2)² – 9 Solución: La raíz cuadrada de (3x – 2)² = 3x – 2

La raíz cuadrada de 9 es 3.

Entonces: (3x – 2)² – 9 = {(3x – 2) + 3} {(3x – 2) – 3} = {3x – 1} {3x – 5}.

◊ TRINOMIOS DE LA FORMA x² + bx + c

Para factorizar este tipo de polinomios se sigue el siguiente procedimiento:

1) Se escriben dos pares de paréntesis con una x en cada uno. (x )(x ).

2) Se agregan signos. El primer paréntesis llevará el sino de b. El segundo paréntesis llevará el resultado de multiplicar los signos de b por c.

3) Se buscan dos números tales que sumados algebraicamente den b, y que multiplicados den c. El número mayor siempre irá en el primer paréntesis.

Ejemplo 3.28: Factorizar x² – 3x – 28

Solución: Se escriben los paréntesis con su respectiva x. (x ) (x )

Se agregan signos. El primero llevará signo negativo, el segundo llevara el resultado de (-) (-) = + (x - ) (x + )

Se buscan dos números tales que multiplicados den 28 y que restados (por el signo de -28) den 3. Los números son 7 y 4. (x – 7) (x + 4).

Ejemplo 3.29: Factorizar x² – 12x + 35

Solución: Se escriben paréntesis y sus respectivos signos. (x - ) (x - )

Se buscan dos números tales que multiplicados den 35 y sumados (+35) den -12.

Los números son 7 y 5. Entonces x² – 12x + 35 = (x – 7) (x – 5)

◊ TRINOMIOS DELA FORMA ax² + bx + c

Se sigue el siguiente método:

1) Se multiplica el valor de a por el valor de c.

2) Se escriben: El primer término

La parte literal del segundo término, repetida

El último término.

3) Se asignan signos de acuerdo al procedimiento anterior, y se buscan dos números tales que multiplicados den el producto ac, y sumados algebraicamente den b.

4) Se resuelve usando el procedimiento de factorización por agrupación.

Ejemplo 3.30: Factorizar 6x² – 5x – 6

El producto a por c es (6)(6) = 36. El primer signo es – , el segundo es (-)(-) =+

6x² - x + x -6

Los coeficientes de los términos intermedios deben satisfacer: Multiplicados den 36

Restados (-6) den 5

Los números son 9 y 4.

Entonces: 6x² – 5x – 6 = 6x² – 9x + 4x – 6

= 3x (2x – 3) + 2 (2x – 3) Factorizando por

= (2x – 3) (3x + 2) agrupación.

Actividades a realizar 4.4

1) Investigar la factorización de la suma y la diferencia de cubos. (Álgebra de Baldor).

2) Factorizar las siguientes expresiones

1. 5a² + a	2. m² +2mx + x²	3. a² + a – ab – b	4. x² – 36
5. 9x² - 6xy + y²	6. x² – 3x – 4	7. 6x² – x - 2	8. 1 + x³
9. 27 a³ – 1	10. a³ – 3 a²b + 5ab²	11. 2xy – 6y + xz – 3z	12. 1 – 4b + 4b²
13. a² – a – 30	14. 15m² + 11m - 14	15. 8 a³ – 12 a² + 6a - 1	16. 1 – m²
17. a² + 2ab + b² – m²	18. x⁵ – x⁴ + x - 1	19. 25x⁴ – 81y²	20. 1 – m³
21. 6x² + 19x - 20	22. a(x +1) – b(x + 1)	23. 1 – a²b⁴	24. 9 – (2x – 3)²
25. x² + 10x + 25	26. 20 – x – x²	27. n² + n – 42	28. 100y² - 25
29. (x + 1)² - 81	30. 9x² – 12xy + 4y²	31. 9n² + 4 a² – 12an	32. 2x² + 2
33. a² – x² – a - x	34. 8y² – 22y - 21	35. 4m⁶ - 1	36. a(x+y-1) – 2(x + y-1)

BIBLIOGRAFÍA

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