MATEMÁTICAS IV - Matutino D1

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MATEMÁTICAS IV

FUNDAMENTACIÓN

La asignatura Matemáticas IV aborda el estudio de la Geometría Analítica, porque estos conocimientos serán básicos para el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral. La importancia de esta asignatura radica en convertirse en herramienta importante y necesaria en la resolución de problemas y, que además junto con la Aritmética, constituya el fundamento teórico-metodológico para las asignaturas posteriores, ya que se han establecido como contenidos integrales, esto es, desde el primer hasta el sexto semestre, y siguiendo el mismo orden, la enseñanza de la Aritmética, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo.

El estudio de Matemáticas IV permite una visualización geométrica de los fenómenos que se presentan en su entorno, así como, su interpretación por medio de la construcción de modelos matemáticos. Por ello, el programa aborda el estudio de la Geometría y la Trigonometría, las cuales permitirán la representación y estudio de los fenómenos físicos, químicos y biológicos y, donde el manejo del Álgebra y la Geometría Euclidiana constituyen el fundamento teórico metodológico.

OBJETIVO: Resolver problemas teórico-prácticos, a partir de las ecuaciones: ordinaria y general de la Recta y Circunferencia, y de las ecuaciones ordinarias de la Parábola y Elipse.

EVALUACIÓN

Para la evaluación de esta materia se recomienda:

40% Tareas*

30% Examen*

30% Participaciones en clase

§ La asistencia debe ser de un mínimo del 80%, para tener derecho a examen.

§ Si el alumno tiene un desempeño completamente satisfactorio, en cuanto a tareas y trabajo en clase, se puede recurrir a la exención de examen. La calificación será a criterio del profesor.

INICIO CLASE 1 - 10/Agosto/20

UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas.

La Geometría Analítica

La Geometría Analítica que, como sabemos, conecta los conceptos de la geometría con los del álgebra y viceversa; al decir de Descartes, la expresión de curvas por medio de relaciones algebraicas. Ya desde la Antigüedad esta vinculación se trató de plantear. Por ejemplo Menecmo, quien fue discípulo de Eudoxo, se supone que conocía algo de geometría analítica; aunque con las limitaciones impuestas al álgebra por los griegos es difícil que esto haya sido muy desarrollado. Sin embargo, Apolonio de Perga en su famosa obra Las Cónicas, y quien vivió alrededor de los años 262 y 190 a.C., usó rectas de referencia para puntos, también un diámetro y una tangente a la misma para expresar esos puntos; es decir, algo parecido a lo que en geometría analítica moderna hacemos cuando usamos los ejes de coordenadas. También Pappus y Omar Khayyam los usaron en su resolución de ecuaciones cúbicas.

Parte de la obra de Las Cónicas fue traducida por los árabes y fue introducida en Europa precisamente por Edmund Halley (1556-1742) quien fue un científico amigo de Newton.

Descartes

Muchos otros matemáticos hicieron algunos avances en esta relación entre álgebra y geometría durante esta época. Giovani di Casoli, Nicole Oresme (c. 1323-1382) y el mismo Galileo habían tratado de establecer representaciones gráficas de conceptos como los de tiempo, rapidez, distancia y velocidad; sin embargo, fue René Descartes quien dió el impulso definitivo en esta dirección a la geometría. Subrayemos que Descartes es considerado el primer filósofo moderno y, por eso mismo, debe interpretarse que la geometría analítica corresponde al espíritu de lo que ya es una nueva era en el desarrollo de la sociedad occidental.

La obra de Descartes es auténticamente revolucionaria. Podemos decir que el método que él proponía se reduce a tres pasos:

1- La expresión de un problema geométrico en forma algebraica.

2- Resolución de las ecuaciones algebraicas que corresponden al problema geométrico.

3- Construir o interpretar geométricamente lo que planteaba la solución.

Descartes se dice que buscaba liberar a la geometría del exceso de figuras, pero también buscaba darle sentido o significado al álgebra por medio de la geometría. Fue revolucionario René Descartes

Descartes al establecer que una curva se construye con solamente ofrecer una ecuación algebraica. Recordemos que en la Antigüedad para que una curva existiera era necesario que hubiera un procedimiento con regla y compás para poderla construir.

Fermat. Se le atribuye también la creación de la geometría analítica a Pierre de Fermat, quien escribió sobre estos temas antes incluso que Descartes hubiera publicado su obra seminal sobre el tema, pero que, desafortunadamente, fue publicada de manera póstuma posteriormente a la obra de Descartes.

El Álgebra

Lo importante a subrayar acá es el uso de los métodos algebraicos. Podríamos decir que hasta el siglo XVII el álgebra estuvo subordinada a la geometría y a partir de este momento el rol se invirtió y, con ello, se dio un cambio sustancial en la historia de las matemáticas.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, el eje horizontal llamado eje de las abscisas o eje x. El eje vertical llamado eje de las ordenadas o eje y. En el plano se pueden graficar cualquier punto P con coordenadas P(x,y).

COPIAR EJEMPLOS DESDE AQUÍ

MATEMATICAS: Sistema de Coordenadas Rectangulares

Eje yEje Vertical

Eje Horixzontal -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 Eje x

Así las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E y F son respectivamente: A (-6,3), B (5,4), C (3,0), D (- 4,-2), E (5,-4) y F (0,-6).

Matemática Fácil: FUNCIÓN LINEAL

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Grafico 4.gif

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PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS - ppt descargar

Como se calcula la distancia entre dos puntos

TERMINAR DE COPIAR EJEMPLO DESDE AQUÍ

FIN CLASE 1 - 10/Agosto/20

INICIO CLASE 2 - 12/Agosto/20

PARTICIPACIÓN 2

1.- Hallar las distancias entre los puntos dados. (Graficar)

a) A(2, - 5) y B (5, -1)

b) A(6, 5) y B(0, -3)

c) A(- 3, - 4) y B (3, 8)

d) A(3, -2) y B(-3, -2)

e) A(7, - 5) y B (- 5, 0)

2.- Los vértices de un triángulo son A(3, 4), B(-4, 6) y C(-6, -1). Hallar las medidas de sus lados. (Graficar)

3.- Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que une a los puntos dados. (Graficar)

a) A(-1, -2), y B(2, -2)

b) A( 5, 6), y B(1, 2)

c) A(-3, - 5) y B(6, 4)

d) A(4, - 3) y B(- 4, 3)

e) A(- 5, 3) y B(4, - 6)

TAREA

FIN DE CLASE 2 - 12/Agosto/20

INICIO CLASE 3 - 17/Agosto/20

FORMAS DE ECUACIÓN DE UNA RECTA

v Ecuación punto-pendiente.

y – y₁ = m (x – x₁)

v Forma pendiente-ordenada al origen.

y = mx + b

v Forma general de la ecuación de una recta.

Ax + By + C = 0

v Forma simétrica de la ecuación de una recta.

x + y =1

a b

FORMAS DE ECUACIÓN DE UNA RECTA

v Ecuación punto-pendiente

Sea la pendiente m de la recta que pasa por los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x, y), entonces:

Elipse: y – y1 = m (x – x1) m = y – y₁

x – x₁

Multiplicando a ambos lados por x – x₁

Que es la ecuación de la recta con pendiente m y que pasa por el punto P₁(x₁, y₁).

Ejemplo 2.4: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, -5) y su pendiente es m = 2.

x₁ y₁

Solución: Asignando valores a P (3, -5), y m = 2, tenemos que

De la ecuación punto-pendiente y – (- 5) = 2 (x – 3)

Haciendo operaciones y + 5 = 2x – 6

Despejando y y = 2x – 6 - 5

Cambiando de signos y = 2x – 11

Que es la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, -5) y con pendiente m = 2

Ejemplo 2.5: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, -3) con pendiente m= -3/5.

Solución: Asignando valores a P (2, -3), y m = -3/5, tenemos que

De la ecuación punto-pendiente

y – (- 3) = - 3/5 (x – 2)

Haciendo operaciones y + 3 = -3/5x + 6/5

Despejando y y = - 3/5 x + 6/5 – 3

Pero 6/5 – 3 = -9/5 y = - 3/5 – 9/5 Ejemplo 2.5

P(2,-3)

Que es la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2, -3) y con pendiente m = - 3/5

v Forma pendiente-ordenada al origen

Podemos obtener la ecuación de la recta de varias maneras, de acuerdo a los datos conocidos, y, también, si conocemos la ecuación, podemos deducir diversos datos. Un caso importante es cuando conocemos la pendiente m y el punto P donde la recta corta al eje y; a la ordenada del punto P que generalmente se denota con la letra b se le llama ordenada al origen. Usando la ecuación punto-pendiente podemos obtener la ecuación de la recta con pendiente m y que pasa por el punto P(0, b).

Elipse: y = mx + b o P(0, b) y – b = m (x – 0)

Elipse: y = mx + b O bien

Ecuación

Pendiente-ordenada al origen

Gráfica 2.4

Ejemplo 2.5: Hallar la ecuación de la recta con pendiente m = 3 y que pasa por el punto A(0, 5)

Solución: Usando la ecuación pendiente-ordenada al origen, con m = 3 y b = 5 tenemos que la ecuación de la recta es y = 3x + 5

Ejemplo 2.6: Hallar la ecuación de la recta con pendiente -5/6 y que corta al eje y en el punto -3.

Solución: Usando la ecuación pendiente-ordenada al origen, con m = -5/6 y b = -3 tenemos que la ecuación de la recta es y = - 5/6x – 3

v Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados

Si los datos conocidos son las coordenadas de dos puntos, obtenemos primero la pendiente, luego con la pendiente encontrada y cualquiera de los dos puntos utilizamos la ecuación punto-pendiente.

Ejemplo 2.7: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁(3,-2) y P₂(-5, 5).

x₁y₁ x₂ y₂

Solución: Asignado valores para hallar la pendiente: P₁(3,-2) y P₂(-5, 5).

m = 5 – (-2) = 7 = - 7

- 5 – 3 - 8 8

Utilizando la ecuación punto-pendiente con m = -7/8 y P₁(3, -2).

y – (-2) = -7/8 ( x – 3)

y + 2 = -7/8 x + 21/8

Despejando y y = -7/8 x + 21/8 – 2

Y la ecuación es y = -7/8 x + 5/8

Ejemplo 2.8: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5,4) y B(-3, -7).

Solución: Asignado valores para hallar la pendiente: A(5, 4) y B(-3, -7). A(5, 4)

m = -7 – 4 = -11 = 11

- 3 – 5 - 8 8

Usando la ecuación punto-pendiente con m = 11/8 y B (-3, -7)

y – (-7) = 11/8 (x – (-3)

y + 7 = 11/8 x + 33/8

Despejando y y = 11/8 x + 33/8 – 7

Y la ecuación es y = 11/8 x – 23/8

B(-3, -7)

v Forma general de la ecuación de una recta

Gráfica 2.11

Elipse: Ax + By + C = 0 La forma general se obtiene pasando todos los términos de la ecuación a un miembro de manera que quede igualado a cero, es decir, es de la forma

Ejemplo 2.9: Escribe la ecuación y = 3x – 5 a la forma general

Solución: Pasando todos los términos a la izquierda (¡cuidado con el cambio de signo!)

y – 3x + 5 = 0

Ordenando y cambiando de signo 3x – y – 5 = 0 ¡Que es la forma general!

Ejemplo 2.10: Escribe la ecuación y = 5/8 x + 7/8 en la forma general.

Solución: Multiplicando por el MCM de los denominadores (8) para eliminarlos.

[ y = 5/8 x + 7/8 ] ∙ 8 Ø 8y = 5x + 7

Pasando los términos 8y – 5x – 7 = 0

Ordenando y cambiando de signos 5x – 8y + 7 = 0

Ejemplo 2.11: Escribe la ecuación y = - 5/12 x – 7/9 en la forma general

Solución: Multiplicando por el MCM (36) de los denominadores parara eliminarlos

[ y = - 5/12 x – 7/9 ]∙36 Ø 36 y = -15x – 28

Pasando los términos 36 y + 15x + 28 = 0

Ordenando 15x + 36y + 28 = 0

No se cambio de signo porque el término en x ya era positivo.

Ejemplo 2.11: Hallar la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es 3x – 4y = 12

Solución: Despejando y de la ecuación - 4y = 12 – 3x

y = 12 – 3x

- 4

La ecuación pendiente-ordenada al origen es y = ¾ x – 3

Por lo que m = ¾ y b = -3

v Forma simétrica de la ecuación de una recta

A partir de la forma general de la ecuación de una recta

Ax + By + C = 0

Podemos escribir como Ax + By = - C

Si C ¹ 0, podemos dividir entre -C Ax + By = - C

-C

Si A y B son distintos de cero la ecuación anterior la podemos escribir como

Elipse: x + y = 1
a b _ x_ + _y_ = 1

-C/A - B/A

Si –C/A = a y -B/A = b la ecuación queda como

Que es la forma simétrica de la ecuación de una

Recta.

Esta forma tiene la ventaja de que en ella podemos ver explícitamente los puntos en los que la recta corta a los dos ejes.

(0, b)

*La forma simétrica no puede ser usada en rectas que

pasan por el origen ¿por qué? x + y = 1

a b

(a, 0)

Gráfica 2.12

Ejemplo 2.12: Encuentra la ecuación de la recta que corta a los ejes en A(0, 4) Y B(-5, 0).

A(0, 4)

Solución: Usando la forma simétrica, la ecuación queda como

_x_ + y = 1

- 5 4

Multiplicando por el MCM (20) -4x + 5y = 20

Ordenando y cambiando de signos 4x – 5y + 20 = 0 4x – 5y + 20 = 0

B(-5, 0).

VÍDEOS DE EJEMPLOS

Ecuaciones Recta 0

Ecuaciones de Recta 1

Ecuaciones de Recta 2

FIN CLASE 3 - 17/Agosto/20

INICIO CLASE 4 - 19/Agosto/20

Resolver los siguientes ejercicios.

a) Hallar en el plano cartesiano, las coordenadas de los puntos:

A (-6,3), B (5,4), C (3,0),

D (- 4,-2), E (5,-4) y F (0,-6).

b) ¿Cuál es la distancia del punto P1 (-2,-4) al punto P2 (3,2)?

c) Demostrar que el triángulo cuyos vértices son:

A(-1,-4), B(-4,2) y C(2,5) es isósceles.

d) Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que une a los puntos dados.

1) A(-1, -2), y B(1, 2)

2) A(-5, 6), y B(2, -2)

e) Encuentra la pendiente y ángulo de inclinación, de la recta que pasa por los puntos dados.

1) A(-6, -4), B(0, 5)

2) P(4, 4), Q(-3, -4)

f) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. Escribir la ecuación en las formas pendiente-ordenada al origen, forma general y forma simétrica. (No todas las ecuaciones se pueden escribir en la forma simétrica).

1) P(3/2, -3), m = -2

2) P(- 2, - 2), m = -2/3

FIN CLASE 4 - 19/Agosto/20

INICIO CLASE 5 - 24/Agosto/20