MATEMÁTICAS II

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EVALUACIÓN
Para la evaluación de esta materia:

30% Tareas

25% Examen

30% Participaciones en clase

15% Cuestionario

OBJETIVOS: Reconocerá a los polinomios como expresiones algebraicas y realizará operaciones aplicadas a los polinomios, ecuaciones de primer grado y graficas.

Realizar portada, con porcentajes de evaluación.

INICIO CLASE 1, 19/SEPTIEMBRE/2020

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES

REPASO EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICACIÓN DE TÉRMINOS.- Dos ó más términos semejantes se pueden simplificar en uno solo, operando solo en sus coeficientes.

Ejemplo 3.3: Simplificar: a) 4x²y+3x²y – 2x²y

b) 3x + 2y – x + 5y

c) 3x + 2y – 1

d) 3xy –y² – 4 – xy + 2y² – 2xy

Solución:

a) Todos los términos son semejantes por lo que se simplifican realizando la operación en sus coeficientes:

(4 + 3 – 2)x²y = 5x²y

b) Los términos semejantes son 3x y –x y por otro lado 2y e 5y, por lo que el resultado es:

3x + 2y – x + 5y = 3x – x + 2y + 5y = 2x + 7y.

c) Ningún término es semejante por lo que el resultado es: 3x + 2y – 1

d) Juntando los términos semejantes queda: 3xy – xy – 2xy – y² + 2y² – 4= 0 + y² – 4 = y² – 4

SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN

Los símbolos de agrupación más utilizados son: Paréntesis ( ), Corchetes [ ], Llaves { }.

Todos los signos de agrupación son equivalentes, y para eliminarlos se aplican algunos teoremas, en particular las leyes de los signos.

Ejemplo 3.4: Simplificar 3 – (3x – 2) + ( 5 – 2x) – (3x + 3) + (9 – 2x)

Solución: Suprimiendo los signos de agrupación queda: 3– 3x + 2 + 5 – 2x – 3x – 3 + 9 – 2x =

= -3x – 2x – 3x – 2x + 3 + 2 + 5 – 3 + 9

= -10x +16

Ejemplo 3.5: Simplificar: x + (y – z) – [(3x – 2y) + z] + [x – (y – 2z)]

Solución: Suprimiendo los paréntesis x + y – z – [3x – 2y + z] + [x – y + 2z]

Suprimiendo los corchetes = x + y – z – 3x + 2y – z + x – y + 2z

Simplificando = -x + 2y

Actividades a realizar 1.1

Simplificar las expresiones siguientes

1) 6x – 10x	2) -5ab – 7ab + 2.5	3) 4.9y + 5.3y – 2.8y
4) 4a – 2a + 5a	5) x – 5 – 10x + 5	6) 4(z + 5) + 8z
7) 9y + 3 + 11y + 4	8) 3x² + 2x – 3x² + 9	9)

MULTIPLICACIÓN

Regla de los exponentes para la multiplicación de potencias: xⁿ x^m = x^n+m

Ejemplos: x³x⁴ = x⁷, y y³ = y⁴, z z⁶ z³ = z¹⁰

Para realizar la multiplicación de monomios, se multiplican los coeficientes numéricos (incluido signo), las literales semejantes (de acuerdo al teorema anterior) y si hay mas literales, solo se agregan al resultado.

Ejemplo 3.6: Multiplicar 7x²y³por -8x³y⁵z²

Solución: (7x²y³) (-8x³y⁵z²) = -56x⁵y⁸z²

Ejemplo 3.7: Multiplicar: -25a⁵c⁴por -24a³b⁴c

Solución: (-25a⁵c⁴) (-24a³b⁴c) = 600a⁸b⁴c⁵

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica el postulado distributivo.

a (b + c) = ab + ac

Ejemplo 3.8: Multiplicar -5x³y por 3x² – 5xy + 4y²

Solución: El monomio -5x³y multiplica a cada término del polinomio

-5x³y (3x² – 5xy + 4y²) = -15x⁵y + 25x⁴y² – 20x³y³

Ejemplo 3.9: Multiplicar 8xy⁴z⁵ por -9x³z²–5y⁴z + 6

Solución: (8xy⁴z⁵) (-9x³z² – 5y⁴z + 6) = - 72x⁴y⁷z⁷ – 40xy⁸z⁶ + 48xy⁴z⁵

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva reiteradamente, simplificando los términos resultantes.

Actividades a realizar 1.2

Resolver las siguientes operaciones.

1. (2x – 1) (3x + 2)	2. (5y – 3) ( 8y – 6)	3. (3x – 9y) (2z – 5w)
4. (4a + 8) (7a + 9)	5. (6b + 5) (9b – 10)	6. (3x – 9y) (2z – 5w)
7.	8. (c³ – 2d⁵) (3c⁴ + ½ d⁶)

FIN CLASE 1, 19/SEPTIEMBRE/2020

INICIO CLASE 2, 26/SEPTIEMBRE/2020

Repaso Ecuaciones de Primer Grado

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

Ejemplo 5.

Ejemplo 6.

Ejemplo 7.

Participación.

Tarea.

1.-

2.-
Las que no se ven, las dos primeras son: (-3,3) (1,-4)

3.-

FIN CLASE 1, 19/SEPTIEMBRE/2020

INICIO CLASE 2, 26/SEPTIEMBRE/2020

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x² + 1

Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la x).

Por ejemplo: x² + 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Ejemplos:

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.

x/2 = 1 - x + 3x/2

Solución

Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2

Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.

En el ejemplo podemos probar con valores:

x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,

x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:

Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:

3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1.5.

Efectivamente: 3(-1.5) + 1 = -1.5 -2; -4,5 + 1 = -3.5. ¡Cierto!

Decimos en este caso que la ecuación tiene solución.

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:

3x + 1 = x – 2

- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:

3x +1 – 1 - x = x - x - 2 -1, que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"

- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:

2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".

ECUACIONES SIN SOLUCIÓN

Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:

x - 3 = 2 + x

Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿Qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.

Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.

Ejercicio 4.- Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución, la ecuación:

3x - 2 + x = 5x + 1 - x

ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES

Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:

2x-1 = 3x + 3 – x – 4

Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿Qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?

Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x! Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.

En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).

Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que el programa no interpreta de ninguna forma la igualdad 0 = 0.

Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES

Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.

3x – 2 + x = 1 + 4x – 3

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

2x -[x -(x -50)] = x - (800 - 3x)

2x -[x -x +50] = x -800 +3x Primero quitamos los paréntesis.

2x -[50] = 4x -800 Reducimos términos semejantes.

2x -50 = 4x -800 Ahora quitamos los corchetes.

2x -4x = -800 +50 Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

-2x = -750 Nuevamente reducimos términos semejantes

x = -750 = 375
-2 Despejamos x pasando a dividir a -2, luego simplificamos.

¡¡¡CUIDADO!!!
Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:
a) Si tenemos un signo + antes del signo de agrupación no afecta en nada a lo que este dentro de este signo de agrupación. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5

b) Si por el contrario, tenemos un signo - antes del signo de agrupación, este signo afectara a todo lo que este dentro del signo de agrupación. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: -(3x -5) = -3x + 5

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PRODUCTOS INDICADOS

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos indicados y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). Observemos un ejemplo:

5(x -3) -(x -1) = (x +3) -10
5x – 15 - x +1 = x + 3 – 10	Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis, nótese que al eliminar el paréntesis en -(x -1), se cambio de signo por efecto del signo " - " exterior.
5x – x – x = 3 – 10 +15 – 1	Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)
3x = 7	Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.
x = 7/3	Despejamos x pasando 3 a dividir.