RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
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Pensamiento Matemático o Razonamiento Matemático, nos referimos a una forma de raciocinio capaz de llevar a cabo operaciones de tipo lógico y abstracto mediante el uso de un lenguaje formal, que en este caso es el de las matemáticas.
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Tarea 1
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Fin Clase 1, 6/Febrero/23
Inicio Clase 2, 8/Febrero/23
Participación 2
Tarea 2
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Fin Clase 2, 8/Febrero/23
Inicio Clase 3, 13/Febrero/23
Pasar ala libreta de apuntes lo siguiente:
ECUACIONES LINEALES CON UNA SOLA VARIABLE
Se utilizan los
teoremas y postulados vistos en la unidad II (mat I), para despejar la
variable.
Para dar
solución a este tipo de ecuaciones se utiliza el siguiente método:
1) Se realizan las operaciones indicadas (como multiplicaciones, potencias,
etc.)
2) Los términos semejantes se unen en un solo miembro (sin olvidar que si
cambian de miembro, entonces cambiarán de signo).
3) Se simplifican los términos.
4) Se soluciona la ecuación resultante (la cual es de la forma ax = b, y la solución es x = a/b).
Ejemplo 1.2: Resolver la ecuación 3x – 5 = 7
Solución: No existen operaciones indicadas, por lo que agrupamos
términos semejantes.
3x – 5 = 7
3x = 7 + 5 Por cambio de miembro, -5 cambio a +5
3x = 12
x = 12/3
x = 4 Solución
Comprobación: 3x – 5 = 7
3(4)
– 5 = 7
12 – 5 = 7
7 = 7 La igualdad se verifica.
Ejemplo 1.3: Resolver la ecuación (2x –
3) (3x + 6) = 6x (x + 5)
Solución: Se resuelve el producto
(2x – 3) (3x – 6) = 6x(x + 5)
6x2
– 12x – 9x + 18 = 6x2 + 30x
Simplificando 6x2
– 21x + 18 = 6x2 + 30x
Agrupando términos semejantes
6x2 – 21x – 6x2 – 30x = -18
Simplificando -51x = - 18
x = -18/-51
Simplificando x
= 6/17 Solución
Algunas ecuaciones poseen fracciones como coeficientes, para obtener una
ecuación con coeficientes enteros, se multiplica toda la ecuación por el MCM de
los denominadores.
Ejemplo 1.4: Resolver la ecuación ⅔x – 3 = ⅜ + x
Solución: El MCM de los denominadores es 24, por lo que:
(⅔x – 3 = ⅜ + x)
24
Multiplicando 16x – 72 = 9 + 24x
Agrupando términos 16x – 24 x = 9 + 72
-8x = 81
x = 81/-8
x = -81/8 Solución.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para solucionar
problemas cotidianos, es necesario traducir del lenguaje normal al lenguaje
algebraico.
Algunas
expresiones comunes son:
|
LENGUAJE COMÚN |
LENGUAJE ALGEBRÁICO |
LENGUAJE COMÚN |
LENGUAJE ALGEBRÁICO |
|
La suma de 25 y x |
x + 25 |
El perímetro de un
cuadrado |
x = lado, P = 4x |
|
La mitad de un número |
x ó ½ x 2 |
Tres números consecutivos |
x, x + 1, x + 2 |
|
Dos números que sumados den 36 |
x, 36 – x |
El triple de un número es
15 |
3x = 15 |
|
El doble de la diferencia de 4 y x. |
2(4 – x) |
La diferencia entre un
número y -21 |
x - (-21) |
|
El triple del cuadrado de un número |
3x2 |
María tiene el doble de
años de Pedro mas 3. |
Sea P la edad de Pedro y M
la edad de María, entonces M = 2P + 3 |
|
La suma de dos números es 100, si el primero es x, el segundo es |
100 – x |
Un número y su recíproco |
x y 1 x |
|
El cuadrado del triple de un número |
(3x)2 |
El perímetro de un
triángulo isósceles mide |
2x + y = 225 |
Traducción de
enunciados a ecuaciones
Las ecuaciones
se pueden utilizar como estrategia en la resolución de problemas. Para ello
se utilizan los siguientes pasos. Comprender. En este paso se
identifican las cantidades conocidas y se establece lo que pregunta el
problema. Desarrollar
un plan. Consiste en traducir el problema a una ecuación. Algunas
palabras que te ayudarán a la traducción de enunciados a expresiones
algebraicas son: Substracción Þ La diferencia de, restado
a, se disminuye en, menos Multiplicación
Þ El producto de,
multiplicado por, veces, por División Þ El cociente de, dividido
entre Igualdad Þ Es igual a, es lo mismo que, son iguales, es
equivalente a Llevar
a cabo el plan. Consiste en resolver la ecuación. Revisar. Verificar la solución del
problema comparando la respuesta obtenida con los datos originales. |
Ejemplo 1.5: Por cada libro que
compró Ana, pagó $ 1.50 de IVA, si por cuatro libros pagó $ 66.00, ¿cuál fue el
costo de cada libro?
Solución:
precio de un libro: x
precio de un libro más IVA: x +
1.50
Obsérvese
que la ecuación obtenida es lineal con paréntesis. Para resolverla se deben
tener en cuenta las leyes de los signos, así como las propiedades de la
igualdad.
x = 60 = 15
4
El
resultado se comprueba si se le sustituye en la ecuación original:
Por
lo tanto, el costo de cada libro fue de $ 15.00.
Ejemplo 1.6:
La suma de dos números es 34 y su diferencia es 10.
Hallar los números.
Solución: Primer numero; x
Segundo numero; 34 – x
Su diferencia es 10; x – (34 – x) = 10
Solucionando x – 34 + x = 10
x + x = 10 + 34
2x = 44
x = 44/2 = 22
Por lo que: Primer número = x = 22
Segundo número = 34 – x =
34 – 22 = 12
Ejemplo 1.7: Elvira tiene 5
años más que Juan. Si ambas edades suman 37 años. Hallar la edad de cada uno.
Solución:
Sea la edad de Juan = x
Edad de Elvira = x
+ 5
La suma es
37 x + ( x + 5) =
37
x + x + 5 = 37
2x = 37 – 5
2x = 32
x = 16
Entonces: La
edad de Juan = x = 16
Edad de Elvira = x + 5 = 21
Ejemplo 1.8: Repartir $310
entre tres personas de modo que la segunda reciba $20 menos que la primera, y
$40 mas que la tercera.
Solución: Si la
segunda recibe $x, entonces
La primera recibe x + 20
Y la tercera recibe x – 40.
Como la suma de las tres
cantidades es $310, entonces
x + (x + 20) +
(x – 40) = 310
x + x + 20 + x – 40 = 310
3x – 20 = 310
3x = 310 + 20
3x = 330
x = 330/3
x = $110
La segunda recibe $110
La primera recibe x + 20 = $130
La tercera recibe x – 40 = $70
Ejemplo 1.9:
¿Cuántos litros de una solución ácida al 65% hay que añadir a
Solución: de acuerdo a la
cantidad de ácido
Litros de solución al 35% (.35) + litros de solución al 65% (.65) = litros
de solución al 40% (.40)
Si x son los
litros de solución ácida al 65%
21 (.35) + x (.65) = (x + 21)
(.40) Donde x + 21 son los litros de solución al 40%
Realizando operaciones
Þ
7.35 + .65 x = .40 x + 8.4
Despejando .65
x - .40 x = 8.4 – 7.35
.25 x = 1.05
x = 1.05 / .25 =
Ejemplo 1.10: Juan tiene la mitad de la edad que Pedro, y Pedro tiene las 2/3 partes
de la edad de Pepe, si la suma de las edades de los tres es de 72 años, hallar
la edad de cada uno.
Solución: Sea x la edad de Juan
Si Juan tiene la mitad de la edad de Pedro, entonces Pedro tiene el
doble de la edad de Juan.
Edad de Pedro = 2x
Pedro tiene los 2/3 de la edad de Pepe
Þ 2x = 2/3 (edad de Pepe)
Despejando “edad de Pepe” Þ Edad de Pepe = (2x) 3/2 = 3x
La suma de las tres edades es 72 Þ x + 2x + 3x = 72
Resolviendo Þ 6x
= 72
x = 72/6 = 12 (Juan tiene 12 años)
Pedro tiene el doble de la edad de Juan = 2(12) = 24 años
Y Pepe tiene Þ 3x = 3(12) = 36 años.
Fin Clase 3, 13/Febrero/23
Inicio Clase 4, 20/Febrero/23
Participación 4
En Classroom
Tarea 4
En Classroom
Fin Clase 4, 20/Febrero/23
Inicio Clase 5, 22/Febrero/23
Participación 5
En Classroom.
Tarea 5
En Classroom.
Fin Clase 5, 22/Febrero/23
Inicio Clase 6, 27/Febrero/23
Evaluación.
Fin Clase 6, 27/Febrero/23
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